信息学竞赛

未完工，敬请期待。

前言 首先，网络流不是一个算法，而是一个整合包（玩MC玩的），说白了就是网络流是多个算法的统称： 最大流 EK Dinic 最小割 费用流 … 而且，有些不常用的，可能就不会提，粘个OI Wiki的链接就不详细写了。 接下来就按照这个目录挨个讲一下每个算法。 最大流 如果有哪里没有说清楚，可以看这里，里面还有我没有说到的最大流类型。 看到最大流这个名字很多人都很陌生，这里就先从定义说起。 定义 还是拆词法，“网络流”就可以大致理解为“网络”上的“流”，接下来就挨个说一下这两个的定义。 网络 先说网络的定义。（当然不是Internet） 我们在理解的时候可以认为是管道，但实际上它是一张特殊的有向图。 建设管道的必然知道，管道内流过的水，准确来说是单位时间内流过的水，必然是有上限限制的，否则管道就炸了。 这里也一样，对于每条边 $x \to y$，都有一个函数 $c(x,y)$ 表示这条边的限制，又称容量。 如果在图上没有这条边，则统一规定 $c(x,y)=0$。 最后，还是跟最短路一样，它有一个起点和一个终点，又称源点 $S$ 和汇点 $T$（$S \not= T$）。 流函数 再说流函数。 流函数就是说，在真实操作中，一个单位时间内一条边 $x \to y$ 流过的水量 $f(x,y)$。 这里默认保证每个单位时间内都得流过这么多。 其实很好理解。 流函数性质 顺便说一下流函数要满足的性质。 首先，源点可以无限输出水，汇点可以无限输入水。 接下来就是一堆性质： 对于每个 $x,y$，显然 $f(x,y) \leq c(x,y)$（容量限制）。 对于每个 $x,y$，$f(x,y)=-f(y,x)$（斜对称）。 对于每个 $x$，满足不是源点也不是汇点，$\sum\limits_{u \to x} f(u,x)=\sum\limits_{x \to v} f(x,v)$（流量守恒）。 这里说一下最后一点性质。 ...

basic BSGS算法英文名叫“baby-step giant-step”，又称“大步小步算法”。 这个算法听名字似乎是个随机化算法，但实际上是数论算法。 具体地，这个算法解决的是 $a^x \equiv b \pmod{p}$ 的解，其中 $a$、$b$、$p$ 是已知的（$0 \leq a,b<p$，保证 $\gcd(a,p)=1$），$x$ 是要求的。 这个算法甚至可以求出所有的 $x$，但为了好讲，我们先考虑如何求出是否有解，以下代码中YES就代表确定有解了。 force algorithm 首先，有一个暴力算法： rep(x, 0, INF) if(ksm(a, x, p) == b) YES 但这个算法是 $O(\infty)$ 的，我们考虑优化。 optimization algorithm 1 我们考虑 $x$ 的上界，根据欧拉定理，$a^{\varphi(p)} \equiv 1 \pmod{p}$，我们就可以确定，$x$ 的上界就是 $\varphi(p)$（准确来说减 $1$ 也彳亍），因为如果 $x>\varphi(p)$，那么 $a^x$ 就等于 $a^{x-\varphi(p)}$，也就成为了一个循环，所以上界就是 $\varphi(p)$。 由于 $\varphi(p)<p$，所以可以把 $p$ 当做是质数，$x$ 的上界也就是 $p-1$ 了。 所以： rep(x, 0, p - 1) if(ksm(a, x, p) == b) YES optimization algorithm 2 (BSGS) 但这个算法还是可能会TLE，我们继续考虑优化 我们定义 $q=\left\lceil \sqrt{p} \right\rceil$，那么我们其实就可以把 $x$ 表示为 $q$ 进制下的两位数，具体地，我们把 $x$ 表示为了 $Aq+B$（$0 \leq A,B<q$），然后上述公式就可以化成 $a^{Aq+B} \equiv b \pmod{p}$，即 $a^{Aq} \times a^B \equiv b \pmod{p}$。 ...

按照正常的思路我们都直接讲算法，但这会先讲一道题，然后再讲它的定义和求法。 参考： ABC335G题解 阶和原根 背景 是一场ABC335里的G题，当时在赛场上大概留了一个多小时的时间，但一直都在想用BSGS，但显然最后没想出来。 而这题的瓶颈就在下面问题： 对于两个数 $a,b$，是否存在一个 $x$ 使得同余方程 $a^x \equiv b \pmod p$ 有解。 $a,b,p \leq 10^{13}$（原题数据范围） 大家看到的第一眼显然可以用BSGS求。 但这个算法是 $O(\sqrt p)$ 的（如果涉及到具体实现的话，可能还得乘个 $\log \sqrt p$，就是set、lower_bound查找的复杂度），比较适用于单组询问，很难推广应用。 所以还有另外一种方式，比较适用于多组询问。 是我们求出来 $a$ 和 $b$ 的阶，即 $\text{ord}_p a$ 和 $\text{ord}_p b$，看 $\text{ord}_p b$ 是否是 $\text{ord}_p a$ 的因子（$\text{ord}_p b \mid \text{ord}_p a$）即可。 这里先不证这个结论是否正确，但相信大家第一次看到“阶”的时候定然是一头雾水的，下面我就来说一下它的定义和求法。 定义 阶 阶的话，跟逆元相似，还是需要两个值，只不过这里叫做“$a$ 在模 $p$ 意义下的阶”而已，换汤不换料。 这个表示方法就是 $\text{ord}_p a$。 它的定义是： 给你整数 $a$、$p$。 找到最小的 $x$，使得同余方程 $a^x \equiv 1 \pmod p$ 成立。 这个 $x$，就是 $a$ 在模 $p$ 意义下的阶。 原根 但说到阶，我们定要讲一下它的孪生兄弟，原根了。 ...

（以下全部假设 $C_n^m$ 中的 $n$ 和 $m$ 都很大，最大能达到 $10^{18}$） Lucas定理 Lucas定理往往用于求组合数的结果且模数较小的题目。 其实定理很简单，也很好记，$\Large C_n^m=C_{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}^{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor} \times \color{orange} C_{n \bmod p}^{m \bmod p}$，在 $p$ 为质数的条件成立。 上面之所以强调模数较小，是因为我们需要通过预处理阶乘的方式去求橙色项的值。 代码实现很简单，此处略。 但有个注意点，在我的代码模板里，由于求facny数组是递推求出的，而不是每个分别去用getny求出的，所以调用init函数时，传参应该是MOD-1而不是MOD。 exLucas定理 （前方高能） 这个定理还是解决求 $C_n^m \bmod p$ 的值的问题，$p$ 仍然很小，但不保证是质数。 根据M2579的做法，我们可以考虑对 $p$ 做一个唯一分解，分解成 ${p_1}^{a_1} \times {p_2}^{a_2} \times {p_3}^{a_3} \times \dots \times {p_k}^{a_k}$。 然后，分别求出 $C_n^m \bmod {p_1}^{a_1}$ 的值、$C_n^m \bmod {p_2}^{a_2}$ 的值、$C_n^m \bmod {p_3}^{a_3}$ 的值、…、$C_n^m \bmod {p_k}^{a_k}$ 的值，然后就可以用CRT求出 $C_n^m \bmod p$ 的值了。 在M2579内，$p$ 唯一分解后，每个 $a_i$ 都等于 $1$，所以直接用Lucas定理就可以求，但在一般的题目中，指数不一定都等于 $1$，所以才要用到exLucas定理。 ...

参考资料： Boyacoding OI Wiki 以下学习笔记为25.3.27重制版。 引入 我们先以一道题P3195 玩具装箱为例。 大概说一下题意： 我们要把一个长度为 $n$ 的数组 $a$ 分成若干段。 设一段为 $a_{l..r}$，那么其“长度”为 $r-l+\sum\limits_{i=l}^r a_i$，下面简称为 $len$。 那么这一段的“代价”为 $(len-L)^2$，$L$ 是题目中给的定值。 最后的总代价为每一段的代价的和，问最小的总代价。 暴力DP 根据题目我们能很容易设计出一个一维DP，$d_i$ 表示 $a_{1..i}$ 的划分方案最小代价，且最后一段结束位置为 $i$。 那么 $d_i=\min{d_j+w(j+1,i)}$，其中 $w(l,r)$ 为 $[l,r]$ 的代价。 转化 设 $s$ 为 $a$ 数组的前缀和，同时下面统一省略掉 $\min$，因为关于求最小值最大值只在最后一步出现。 展开之后也就是： $$d_i=d_j+(i-j-1+s_i-s_j-L)^2$$ 把括号内的东西改成只和 $i$、$j$ 相关的两部分，也就是： $$d_i=d_j+((i+s_i)-(j+1+s_j+L))^2$$ 那么我们可以设前半部分为 $a_i$，后半部分为 $b_j$，也就是： $$d_i=d_j+(a_i-b_j)^2$$ 展开： $$d_i=d_j+a_i^2+b_j^2-2a_ib_j$$ 逼近斜率优化 接下来关键的一步来了，我们考虑把上述式子移个项： $$d_j+b_j^2=2a_ib_j+d_i-a_i^2$$ 显然上面这个式子的先后顺序是我故意排的，那么我们一眼丁真一下，设： $y_j=d_j+b_j^2$ $x_j=b_j$ $k_i=2a_i$ $b_i=d_i-a_i^2$ 那么上式可以变成： ...

普通莫队算法 概览 莫队其实是分块的变化版，没有完全分块。 但莫队的题目一般比分块的题目比较好看一些，其中的“好看”指的是很好看出这是个莫队/分块的题。 接下来说一下莫队能解决的题型。 解决题型 莫队一般解决以下问题： 给你一些信息，和 $q$ 次询问，每次询问可以抽象为一个区间。 而且这个问题还要满足一些条件： 可以离线 不能有修改（当然带修莫队支持修改，不过普通莫队就不行了） 从 $[l,r]$ 的答案可以很快转移到 $[l-1,r]$、$[l+1,r]$、$[l,r-1]$、$[l,r+1]$ 的答案 解决方法 这种题型有个解决方法。 还是先从暴力说起。 暴力做法 看见这个问题的最后一个条件没？这个条件就启发我们从第一个问题的答案，暴力调整左、右端点，去得到第二个问题的答案，以此类推。 这种暴力做法的复杂度一般为 $O($ 任意相邻两个问题的左、右端点差之和 $)$。 而这个算法可以用一种数据卡掉： 左、右端点的值的最大值 $n$ 调到最大，把询问次数 $q$ 也调到最大。 然后的 $q$ 次询问里，交替询问 $1 \sim n$ 和 $n \sim n$。 于是，复杂度被卡到 $O(qn)$。 一次优化 这个做法的复杂度是无法接受的，所以我们考虑优化。 我们不如把所有询问离线，然后考虑交换询问处理的顺序以减少复杂度。 一种方式就是把左、右端点分别作为第一、二关键字，然后做排序。 但这样就会被排序后所有询问的右端点一大一小的数据卡到 $O(qn)$ 的复杂度。 二次优化 这样排序还是不好，还是会被卡掉，于是我们考虑变换比较函数。 直接双关键字比较不好，那我们就分块后进行双关键字比较。 具体地，遇到两个询问，先按左端点所属块编号从小到大排序，如果相同，则按右端点（不是所属块编号，是原本的下标）从小到大排序。 这样的话，复杂度就是 $O(n \sqrt n+q \sqrt n)$ 的复杂度了。 ...

赛时记录 比赛一开始（$11$ 分钟）就过了A。 后来一直在B题思考正解。 在比赛达到 $2h$ 之后，我发现正解已经没希望了，结论假了。 所以改成了暴力。 事实上我先写的C，因为感觉B不太有希望，C一眼 $20$ 分。 之后回头看B，干了最低档。 最后是D，思考了一下可以做 $45$ 分，搞了。 此时里比赛结束还有 $27$ 分钟，所以回头看了一下，发现C题的暴力很多。 先后搞了子任务 $1 \sim 3$，总共 $70$ 分。 然后比赛就结束了。 估分 VS 结果 估分：$100+10+70+45=225$ 结果：$100+25+0+30=155$ 挂分原因 关于B为啥多了 $15$ 分，我也不知道。 C很复杂： 子任务1 $T \leq 100,n \leq 10$ 挂了：赋值消耗时间复杂度太多，在swap的时候回溯写挂了。 子任务2 $k=0$ 挂了：赋值消耗时间复杂度太多。 子任务3 $k=1$ 挂了：做法假了 D： 子任务3 $T=1,k \leq 15$ 挂了：实现的时候没有预处理 $s$、$e$ 的答案，导致询问次数太多TLE。 策略 感觉还是卡B太久。 事实上这次A非常确信做法正确，事实就是正确的，但后面的题没有对拍，导致总共挂了 $85$ 分。 之后无论对于正解还是暴力都得对拍，如果认为有挂的概率的那种。

跳题 如果一道题认为难写，先看后面的题，也许有好写的部分分甚至是正解 如果一道题写完了挂了，认为很对： 找不到错误数据，就规定一段时间（一般为5~10分钟，或者直接执行），然后立刻跳题 找到了错误数据，就可以调时间长一些 如果要在开场把所有题读完（OI赛制专用），遇到难读的题目可以先不读 如果要把剩下的时间全部用在一道题上，先去吃其他题的保底，再开始写这道题 对拍（OI赛制专用） 如果说一道题强数据好造、暴力好写，那么一定要对拍 即使是模拟赛也要对拍，不止是正式比赛，把模拟赛当做正式比赛认真对待 总结 比赛后写一下总结，包括以下内容： 赛时记录，什么时候在干什么 估分 VS 得分 挂分原因（BBE） 赛后想一下赛时没有想到的部分分/满分/更优做法 策略总结+调整

前言 2-SAT中的SAT是适定性（Satisfiability）问题的简称，一般形式为 $k$ - 适定性问题，简称 $k$ - SAT，但由于 $k>2$ 时问题为NP完全问题（只有指数级别复杂度的解法，或者多项式级别复杂度的相似解法），而 $k=1$ 时都不用解了 （废话） ，所以下面全部考虑 $k=2$ 的情况。 定义 2-SAT问题简单来说就是，有 $n$ 个集合，每个集合包含两个元素（集合 $i$ 包含元素 $2i-1$ 和 $2i$，但其实编号是无关紧要的，任意都行），你必须要在每个集合里分别选择刚好一个元素，但某些元素之间可能有矛盾，即这两个元素不能在一种方案里被同时选择，问你是否有解，报告出来，如果有解，输出一种方案（可能不用输出）。 题目 看上面的定义可能有点难懂，这里举个题目。 有一场宴会，这场宴会只有 $n$ 对幸运夫妻可以参加，每对夫妻里只能选择刚好一个人去参加这场宴会。 但部分人之间可能有矛盾，会给出所有有矛盾的两人编号。 问你，是否可以构造一种合法方案，如果不行，报告无解，否则输出一种方案。 解法 （下面统一默认要解决的是实际问题，不是定义里的问题） 定义点、边 我们考虑把夫妻编个名字： 第一对夫妻：A男、A女 第二对夫妻：B男、B女 第三对夫妻：C男、C女 以此类推 然后，我们考虑建图。 但这个建图就要用到一点思维了。 我们不以其他的定义定义点，我们就把一个点当做一个现实。 比如： $1$ 号点代表第一对夫妻是A男参与宴会，$2$ 号点代表A女参与宴会 $3$ 号点代表第二对夫妻是B男参与宴会，$4$ 号点代表B女参与宴会 $5$ 号点代表第三对夫妻是C男参与宴会，$6$ 号点代表C女参与宴会 以此类推 边的定义也很难思考出： 一条有向边 $u \to v$，代表现实 $u$ 满足了，现实 $v$ 也要满足。 举个例子 所以，如果说A男和B女、C男和A女之间都有矛盾，那么就需要在： ...