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马拉车算法其实就是解决一个字符串中由某个位置为中心的最大回文串长度：（下图中蓝色部分为字符串，绿色框中的值就是以这个位置为中心的最大回文串长度） 其次，我们发现最底下的一排绿色数字涉及到空隙，所以我们可以把字符串扩展一下： 比如，原字符串是 $\texttt{abccabbc}$，那么扩展之后就是： （LaTeX炸了） $\texttt{\color{RoyalBlue}@\color{default}#\color{default}a\color{RoyalBlue}#\color{default}b\color{RoyalBlue}#\color{default}c\color{RoyalBlue}#\color{default}c\color{RoyalBlue}#\color{default}a\color{RoyalBlue}#\color{default}b\color{RoyalBlue}#\color{default}b\color{RoyalBlue}#\color{default}c\color{RoyalBlue}#\color{RoyalBlue}&}$ 第一个和最后一个字符可以自己定，但是最好不要和原字符串中的字符、中间插入的字符冲突（相等）。 注：其实还有第二种扩展方法： $\texttt{\color{RoyalBlue}#\color{default}a\color{RoyalBlue}#\color{default}b\color{RoyalBlue}#\color{default}c\color{RoyalBlue}#\color{default}c\color{RoyalBlue}#\color{default}a\color{RoyalBlue}#\color{default}b\color{RoyalBlue}#\color{default}b\color{RoyalBlue}#\color{default}c\color{RoyalBlue}#\color{default}}$ 还是，中间字符不能与原串字符相等。 下面统一设「以下标 $i$ 为中心的最大回文串长度除以 $2$ 并下取整」后的答案为 $p_i$。 然后，我们就开始求 $p$ 数组了，当我们求到 $p_i$ 的时候，我们看前面求出的 $p_j+j$ 的最大值是多少（设为 $r$），即 $\max\limits_{j=1}^{i-1} { p_j+j }$，同时求出最大的 $p_j+j$ 对应的 $j$（设为 $c$）。 并且，我们求出 $i$ 的对称点 $i’$，对称中心为 $c$，显然 $i’=2c-i$。 然后，分类讨论： 注：图中 $r$ 的意思与上面说的 $r$ 的意思有冲突，统一以上面说的定义为准。 $i>r$，那么暴力算 $p_i$。 $r-i \geq p_{i’}$，那么 $p_i=p_{i’}$。 $r-i<p_{i’}$，那么让 $p_i=r-i$，继续暴力扩展。 最后就是时间复杂度问题了。 关于时间复杂度的证明，我们可以分类讨论 $p_i$ 是用那种情况求值的： 用情况1转移：$r$ 肯定会增加。 用情况2转移：复杂度忽略。 用情况3转移：$r$ 也肯定会增加。 由于每时每刻，$r$ 都小于等于 $n$，所以总复杂度就是 $O(n)$ 的。 ...

欧拉函数记为 $\varphi$，$\varphi(n)$ 代表 $1 \sim n$ 内与 $n$ 互质的数的个数。 欧拉函数有两种求法，下面分别说： 直接求 我们设 $p$ 为 $n$ 的质因子集合（非可重集），那么 $\varphi(n)=n \times \prod\limits_{x \in p} \left( \dfrac{x-1}{x} \right)$，原理： 我们设 $s$ 为目前与 $n$ 互质的数的集合，初始为 ${ 1,2,\dots,n }$。 每次遍历到一个 $p$ 中的数 $x$，就会筛掉这个集合中 $\dfrac{1}{x}$ 的数，即那些是 $x$ 的倍数的数，由于 $p$ 是去重后的质因子集合，所以当前集合的大小总是 $x$ 的倍数。 所以这个做法就能证明了，每乘一次 $\dfrac{x-1}{x}$，都相当于筛掉当前集合内 $\dfrac{1}{x}$ 的数，集合大小动态维护。 模板代码：（代码中的 $p$ 数组是提前筛出来的质数集合，$ind$ 为其大小） LL phi(LL n){ if(n == 0) return 0; LL ret = n; rep(i, 1, ind){ if(n % p[i] == 0) ret = ret * 1 - ret / p[i], n /= p[i]; while(n % p[i] == 0) n /= p[i]; } if(n > 1) ret = ret * 1 - ret / n; return ret; } 通过线性筛预处理 线性筛模板： void shai(LL n){ f[0] = f[1] = true; rep(i, 2, n){ if(!f[i]) p[++ind] = i; for(LL j = 1;i * p[j] <= n;j++){ f[i * p[j]] = true; if(i % p[j] == 0) break; } } } 线性筛有一个性质，就是在第二重循环里，每次都会筛掉数 $i \times p_j$，而 $p_j$ 正是这个数（$i \times p_j$）的最小质因子。 ...

我们现在要解决一个问题，就如标题所说，我们要判断一个DAG的拓扑序是否唯一。 以下说两种做法。 做法1（推荐） 在拓扑排序时，我们只要每时每刻都判断一下，此时的队列大小是否大于 $1$ 即可。 因为，如果队列大小大于 $1$，则选择任何一个元素都可以加入到拓扑序的最后下标，所以拓扑序不唯一。 做法2 （以下是我考试时想出来的做法，思维难度较高，但整个构思过程中都没有思维跳跃） 1 首先，我们建出这个DAG，然后我们考虑，其实一个DAG唯一，有且仅当对于所有点对 $(u,v)$（$1 \leq u,v \leq n$），都满足以下两点之一： 点 $u$ 可以到达点 $v$。 点 $v$ 可以到达点 $u$。 此处证明一下。 其实，如果存在一个不满足上述条件的点对 $(u,v)$，那么整张图可能会张这样：（下面标记的 $(u,v)$ 只是其中一个） 在这种情况里，我们直接把红色集合和蓝色集合里的拓扑序“交换”，变成： 于是乎，就得到了另一个合法的拓扑序，证毕。 关于如果满足条件，则拓扑序唯一，此处不多赘述，自行脑补。 2 上述条件还可以继续变化，变成： 对于所有点对 $(u,v)$（$1 \leq u,v \leq n$，且 $v$ 的拓扑序比 $u$ 的要大），都满足点 $u$ 可以到达点 $v$。 3 我们考虑定义函数 $f(x)$ 代表拓扑序为 $x$ 的节点，是否能到达所有拓扑序为 $y$（$x<y$）的点。 4 我们考虑求 $f(x)$，我们可以枚举拓扑序为 $x$ 的节点 $u$ 的所有出点 $v$（设其拓扑序为 $y$，且排除 $y \leq x$ 的所有点）。 ...

说到平衡树，很多人的第一印象就是： 难学（知识点真多） 难懂（特别是“旋转”和证明） 难调（我的某个教练刚学平衡树的时候调了七个小时） 下面我们就来从0开始讲平衡树。 （注：网上大多数人说到“平衡树”默认指的是“Splay”而不是其他算法） 定义 其实平衡树（Balance Tree，简称BT）不算一种算法，而是一种统称。 平衡树顾名思义就是非常平衡的树。 比如说这棵树就非常不平衡： 而这棵树就比较平衡： 如果说的更形式化，平衡就意味着，对于每个点，其所有子树的大小差都不超过 $1$。 具体而言，对于每个点 $x$，如果我们把其所有儿子 $to$ 的子树大小都列出来，那么这个数组内最大值和最小值差不超过 $1$。 而且，大多数平衡树都是二叉树，这一点是为了方便操作和设计算法。 种类 听完上面的定义，你就知道了，平衡树就是一类树状数据结构的统称。 下面就来列举一下这类数据结构都有哪些，以及这些数据结构的简介。 二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST） 大多数平衡树的前置算法，这也就意味着，大多数的平衡树都是基于BST并进行优化、扩展后得到的算法。 而BST也是线段树（Segment Tree，部分情况下会简称为ST）进行扩展后的算法。 具体而言，权值线段树和BST都可以维护有序集合，但有时候只能用BST解决。 BST其实就是把权值“当做”节点编号（讲的时候一般就这么讲，但写的时候不能这么写，是把权值存入该节点的结构体内）。 然后对于每个点，它都有最多 $2$ 个儿子，左儿子权值 $<$ 当前点权值 $<$ 右儿子权值。 这样就可以方便查找。 优点：代码好写，容易讲明白 缺点：解决题型少，需要写定期重构（又被称作“替罪羊树思想”），复杂度高 Treap（名字不是一个单词，而是两个单词Tree和Heap的结合） 这个算法给每个节点都添加了一个“优先级”，并让“优先级”满足小/大根堆的性质。 并且，这里还通过“旋转”操作（最头疼的地方来了）让树尽量平衡，这样会让树高稳定在 $O(\log n)$ 级别。 （不过注意，在最坏情况下，复杂度会达到 $O(n)$，所以 $O(\log n)$ 只是期望） 这样，复杂度就降下来了。 优点：复杂度低，比较容易理解，解决题型多，且容易被识别出 缺点：比较难写，细节较多，复杂度难证明 Splay（本意为“张开”但这里不是这个意思） 这个算法对上面的“旋转”操作又做了一遍扩展，让其能够解决子串翻转问题。 而且，由于它也会让整棵树尽量平衡，所以树高还是会稳定在 $O(\log n)$ 级别。 ...

参考 引用头文件（常用） #include <stdlib.h> //生成随机数、设定随机数种子 #include <ctime> //生成随机数种子（1） #include <time.h> //生成随机数种子（2） #include <unistd.h> //等待（sleep(...)或usleep(...)），该头文件现在不常用 随机种子 srand(time(0) ^ clock()); 注：随机种子为time(0) ^ clock()，这个随机种子可以再毫秒级别内生成（大概率）不同的随机种子。 取 $[l,r]$ 内的随机数 #define random(l, r) (rand() % ((LL)(r) - (LL)(l) + 1) + (LL)(l)) 注：rand函数只能生成 $[1,32767]$ 内的随机数（见宏RAND_MAX），大概只能生成位数 $\leq 5$ 的随机数；测试程序： LL ma = 0; for(LL i = 1;i <= 200;i++){ srand(time(0) ^ clock()); LL t = rand(); cout << t <<endl; ma = max(ma, t); usleep(10000); } cout << ma <<endl; 所以此处引用一个新方法：mt19937（2022/12/24：现在开始使用mt19937_64了，它可以生成 $[1,2^{64})$ 内的随机数，大一倍）。 其实它的语法和rand的语法差不多 （才怪），是这样的： 引用头文件（常用） #include <random> //生成随机数、设定随机数种子 #include <ctime> //生成随机数种子（1） #include <time.h> //生成随机数种子（2） #include <unistd.h> //等待（sleep(...)或usleep(...)），该头文件现在不常用 随机种子 mt19937 _rand(time(0) ^ clock()); 注：这个随机种子也可以再毫秒级别内生成（大概率）不同的随机种子 取 $[l,r]$ 内的随机数 （就差一个字符_而已） #define random(l, r) (_rand() % ((LL)(r) - (LL)(l) + 1) + (LL)(l)) 据测试，这个函数可以生成在unsigned int范围内的随机数（即可以生成 $[1,2^{32})$ 内的随机数），测试程序： ...

第一次看到树链剖分（简称树剖）可能觉得它非常的深奥，但其实树剖的原理非常简单，下面先说树剖大概的实现思路和解决题型。 概览 其实树剖就是把一棵树分成若干条链，使得每个点都出现在了刚好一条链上。 并且，我们称在某条链上的边为“重（zhòng）边”，不在任何一条链上的边为“轻边”。 然后，我们按某种规则去DFS，求出新的DFS序，然后解决对树上路径询问的问题。 而且，通过合理的设计每条边的轻重，可以把复杂度控制在 $O(\log n)$ 级别。 解决题型 上面也提到了，树剖就是用来解决对树上路径进行询问的问题的算法，当然也可以解决对子树询问的问题，不过属于大材小用了。 此外，树剖属于工具类算法，所以往往会配合树状数组、线段树、分块等算法出现。 我把算法分为了两类，“材料类算法”和“工具类算法”，其中： 材料类算法可以单独考，比如： 数论 推公式 DP 树状数组 线段树 … 工具类算法里面必须要套材料类算法才能考出来，比如： 二分 01分数规划（二分的一个分支） CDQ分治（需要配合树状数组） 整体二分（需要配合树状数组） 树剖（这里讲的） … 往往一些较难的题目，都是要用较难的材料类算法（比如DP），或者工具类算法配合材料类算法才能解决的题目。 而对于后者，难度会更大一些，因为后者的关键在于转化后使用工具类算法解决。 算法实现 下面说一下树剖的实现。 两遍DFS 我们考虑DFS，当递归到点 $x$ 的时候，找到 $x$ 的儿子中，子树大小最大的那个儿子 $to$。 然后，我们把 $x \to to$ 这条边设为重边，其他边设为轻边。 得到每条边的轻重后，我们再做一遍DFS。 而这一遍DFS是为了找到DFS序。 而且，DFS序有一个要求，我们要先遍历有重边连接的儿子。 这样的话，对于任意一条树上的链，链上所有点的DFS序连续，而且是由深度从浅到深依次递增。 同时，我们还要求出，从一个点开始，不经过任何轻边，最多到哪个点。 解决询问 而对于一次路径上某值的询问，我们可以把这个路径拆成若干条链。 可以证明链数不超过 $O(\log n)$，这一点会在下面“复杂度证明”中证明。 而这些拆出的链，都是原树中的链的“子集”（一条链 $L_1$ 是另外一条链 $L_2$ 的子集，有且仅当 $L_1$ 中的点，$L_2$ 中也有，边同理）。 所以，可以把一条路径，拆成最多 $O(\log n)$ 个DFS序区间。 ...

（四边形不等式看标题可能觉得很难，其实比较简单） 四边形不等式是一种DP优化的技巧，一般针对二维DP进行优化。 在DP中，往往会有多个决策点，而其中就有一个是最优的，设 $d_{i,j}$ 的最优决策点为 $f_{i,j}$。 （以下假设DP枚举决策点的复杂度为 $O(n)$，DP状态数为 $O(n^2)$） 而四边形不等式就是说，如果满足 $f_{i,j-1} \leq f_{i,j} \leq f_{i+1,j}$，那么可以把DP枚举决策点的范围降至 $[f_{i,j-1},f_{i+1,j}]$，然后DP的复杂度就从 $O(n^3)$ 降到了 $O(n^2)$。 而这个（复杂度）怎么证明呢？我们画一下 $f$ 数组的表： （此处，我们以 $i$ 为行号，以 $j$ 为列号，行、列号都从 $1$ 开始编号） 然后，画几个标记： 这些标记指的是，在转移 $d_{1,2}$ 的时候，转移点枚举的左右端点分别就是红箭头指向的两个数。 同时，为了方便观察，此处还画了个蓝色的虚线。 同理，还可以画出 $d_{2,3}$ 对应的标记： 以此类推： 可以发现，其实这时候所有蓝线的长度（蓝线连接的两个数字的差值定义为这个蓝线的长度）之和，最多只有 $n$。 而对于 $d_{1,3}$ 一“类”的标记： 可以发现，其实那些蓝线的长度之和也是最多只有 $n$。 在画出所有蓝线之后： 可以发现，一共就有 $n$ “类”蓝线，一“类”蓝线的长度之和最多 $n$，至此，可以证明复杂度（所有蓝线的长度之和）为 $O(n^2)$。 接下来讲几类四边形不等式解决的经典题型： 第一类：$d_{l,r}=\min { d_{l,k}+d_{k+1,r} | l \leq k \leq r }+w_{l,r}$，合并石子类。 第二类：$d_{i,j}=\min { d_{k,j-1}+w_{k+1,i} | 0 \leq k \leq i }$，区间分割类。 （这两类对应的公式里的 $\min$ 也可以替换成 $\max$） ...

同余最短路看名字感觉很难，但其实非常简单，也好理解，先说一道题： 题目 原型：洛谷P3403 跳楼机 有一栋 $h$ 层的大楼（层数编号从 $1$ 到 $h$），有 $n+1$ 种移动方式： 回到 $1$ 层 向上走 $x_1 \sim x_n$ 层 楼层不是循环的，你无论如何都无法到达 $h+1$ 层或以上。 最初你可以在任意一层（但也无关紧要），问你能到达多少个不同的楼层。 题解 分类 我们按楼层模 $x_1$ 的余数分类，把楼层 $i$ 分到 $i \bmod x_1$ 类。 这样分类有什么用呢？见下。 定义状态 有了这个分类，我们可以定义状态 $d_i$（$i \in [0,x_1)$）代表不用「向上走 $x_1$ 层」操作能到达的、最小的第 $i$ 类楼层是多少。 那么，由于有「向上走 $x_1$ 层」操作，所以 $d_i,d_i+x_1,d_i+2x_1,\dots$（比 $d_i$ 大或相等的第 $i$ 类楼层）都是可达的。 接下来考虑转移这个状态。 转移 其实也很好想，比如用一次「向上走 $x_2$ 层」操作，那么 $d_i$ 可以转移到 $d_{(i+x_2) \bmod x_1}$，转移代价为 $x_2$，所以： $d_{(i+x_2) \bmod x_1}=\min(d_{(i+x_2) \bmod x_1},d_i+x_2)$ ...

前言 首先，网络流不是一个算法，而是一个整合包（玩MC玩的），说白了就是网络流是多个算法的统称： 最大流 EK Dinic 最小割 费用流 … 而且，有些不常用的，可能就不会提，粘个OI Wiki的链接就不详细写了。 接下来就按照这个目录挨个讲一下每个算法。 最大流 如果有哪里没有说清楚，可以看这里，里面还有我没有说到的最大流类型。 看到最大流这个名字很多人都很陌生，这里就先从定义说起。 定义 还是拆词法，“网络流”就可以大致理解为“网络”上的“流”，接下来就挨个说一下这两个的定义。 网络 先说网络的定义。（当然不是Internet） 我们在理解的时候可以认为是管道，但实际上它是一张特殊的有向图。 建设管道的必然知道，管道内流过的水，准确来说是单位时间内流过的水，必然是有上限限制的，否则管道就炸了。 这里也一样，对于每条边 $x \to y$，都有一个函数 $c(x,y)$ 表示这条边的限制，又称容量。 如果在图上没有这条边，则统一规定 $c(x,y)=0$。 最后，还是跟最短路一样，它有一个起点和一个终点，又称源点 $S$ 和汇点 $T$（$S \not= T$）。 流函数 再说流函数。 流函数就是说，在真实操作中，一个单位时间内一条边 $x \to y$ 流过的水量 $f(x,y)$。 这里默认保证每个单位时间内都得流过这么多。 其实很好理解。 流函数性质 顺便说一下流函数要满足的性质。 首先，源点可以无限输出水，汇点可以无限输入水。 接下来就是一堆性质： 对于每个 $x,y$，显然 $f(x,y) \leq c(x,y)$（容量限制）。 对于每个 $x,y$，$f(x,y)=-f(y,x)$（斜对称）。 对于每个 $x$，满足不是源点也不是汇点，$\sum\limits_{u \to x} f(u,x)=\sum\limits_{x \to v} f(x,v)$（流量守恒）。 这里说一下最后一点性质。 ...

（说是斜率优化，其实和斜率几乎没有关系） （e…更新后确实有关系） 其实斜率优化和决策二分栈（队列）很像，下面分几种类型来讲。 一维斜率优化 针对形如 $d_i=\min\limits_{j=0}^{i-1} \big( d_j+w(j+1,i) \big)$ 的方程，而且需要满足决策单调性。 此处重新说一下，如果我们发现一个转移点 $x$ 在 $d_i$ 的时候已经比另外一个转移点 $y$ 要更优了（$x>y$），那么转移点 $y$ 在后面（$d_{i+1}$ 及以后）就不可能比转移点 $x$ 要更优了，那么这个DP一定满足决策单调性，而且反过来也一样（见"决策单调性.md"）。 其实证明是否满足单调性只用看：如果一个决策点 $x$ 如果在 $d_i$ 的转移中已经比决策点 $y$ 要优了，那么 $d_{i+1}$ 中是否仍然满足这个条件。 证明了满足决策单调性后，就可以开始斜率优化了。 我们首先要考虑推斜率式： 其实斜率式就是把式子 $d_x+w(x+1,i)<d_y+w(y+1,i)$（$x>y$）不断移项、变化，直到式子左边只和 $x$、$y$ 有关，右边只和 $i$ 有关为止。 此时的斜率式一般左边是个分数，而且这个分数还需要把分子和分母的下标对应： 如果斜率式最后是像这样的： $\dfrac{d_x-d_y}{v_y-v_x}>-a_i$ 那么就不是个合法的斜率式，需要变成： $\dfrac{d_x-d_y}{v_x-v_y}<a_i$ 才是合法的。 注意，这里说的是“合法的”，而不是“正确的”，其实最上方的斜率式也可以使用，就是不能叫“斜率式”了（斜率的公式是 $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$）。 设此时的斜率式就是上面说的： $\dfrac{d_x-d_y}{v_x-v_y}<a_i$ 那么，我们就定义 $\text{slope}(y,x)=\dfrac{d_x-d_y}{v_x-v_y}$。 有了上面函数，显然如果存在两个转移点 $x$ 和 $y$（$x>y$）在转移到 $d_i$ 的时候满足 $\text{slope}(x,y)<a_i$，那么就说明转移点 $x$ 比转移点 $y$ 更优，转移点 $y$ 在后面就不需要了。 下面默认推出来的斜率式就是上式，并默认 $a$ 数组单调不降。 ...