在数学、编程界里，可能会经常遇到方程，而且有时候还会遇到一种特殊方程——一元二次方程。
除此之外，还有含参一元二次方程，这里也会一起讲。（待补充）
其实还有如二元一次方程、一元三次方程等的特殊方程，但在这里不讲。
一元二次方程
有人看到“一元二次方程”就不知道是啥意思，这里先说一下定义
定义
首先，方程相信大家都见过，所以这里不写对方程的定义解释。（废话
而 $x$ 元 $y$ 次方程就是这么定义的：
- 这个方程经过化简后，共有 $x$ 个未知数，且未知数上的最大指数为 $y$ 的方程。
如：
- $3(x+1)=6x$：一元一次方程，也是最常见的方程。
- $3(x+1)^2=2(x+1)$：一元一次方程，因为两边可以同时除以 $x+1$ 以让指数减少 $1$。
- $x^2-4x+1=0$：一元二次方程，也是下面要讲的方程类型。
- $x^3+2x^2-1=16x$：一元三次方程，也是一种不常见的方程类型。
讲完定义，接下来说怎么解
解法
推导
我们把方程一般化，变成：
$ax^2+bx+c=0$
其中 $a$、$b$、$c$ 均为常量。
然后，我们不断对方程做一些推导。
移项
$ax^2+bx=-c$
同时除以 $a$ 常量
$x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}$
这个式子很多人看了就不知道怎么继续推导了。
但还是可以继续转化的。
我们考虑配方，即把式子的左/右项同时加/减/乘/除一个相同的数，然后让这个等式的左/右项变成一个数的平方的形式。
这一步比较考验数感，一个结论就是，我们同时加上 $\left( \dfrac{b}{2a} \right)^2$ 常量 即可。
$x^2+\dfrac{b}{a}x+\left( \dfrac{b}{2a} \right)^2=-\dfrac{c}{a}+\left( \dfrac{b}{2a} \right)^2$
化简
$\left( x+\dfrac{b}{2a} \right)^2=\dfrac{-c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}$
二次化简
$\left( x+\dfrac{b}{2a} \right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
同时开根号
$x+\dfrac{b}{2a}=\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}$
移项
$x=\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}-\dfrac{b}{2a}$
提出分母
$x=\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\dfrac{b}{2a}$
化简
$x=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
但 $\sqrt{b^2-4ac}$ 是可以正也可以负的，所以变化符号一下。
$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
于是一元二次方程得解。
定义与总结
在一元二次方程里，还有一个名词——根，你可以当“方程的解”理解。
而且，一元二次方程里，最多只有两个根。
我们把两个根分别表示为 $x_1$ 和 $x_2$，那么：
-
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
-
$x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
同时，我们定义 $\Delta$（读作 $\text{delta}$，音标/'deltə/），即“根的判别式”，为 $b^2-4ac$，就是这个地方的式子：
- $x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{\color{red} b^2-4ac}}{2a}$
而根据 $\sqrt{~~}$ 内不能为负数的限制，如果 $\Delta<0$，则无实根（注意，不是无解）。
关于为啥不是无解，这里解释一下，因为有一种数叫虚数，可以被表示为 $ai+b$（$a \not= 0$），其中 $i=\sqrt{-1}$ 的数都被称作虚数。
而 $\Delta<0$ 时根就是虚数。
而如果 $\Delta=0$，则两个根相同，均为 $\dfrac{-b}{2a}$。
否则，$\Delta>0$，两个根分别为 $\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ 和 $\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$。
含参一元二次方程
（待补充）