要说行列式，就得先说一下矩阵（其实是方阵）的秩的定义。
对于一个方阵，其秩的定义就是矩阵里线性无关的极大值。
听这个定义有点难懂，这里解释一下。
其实一个方阵就可以被当做是一个没有右项的方程集。
而一个方阵的秩就可以当做是，这个没有右项的方程集在经过高斯消元后，非 $0$ 行的数量。
有了这个定义，矩阵的秩还可以被当做是，这个没有右项的方程集中，不会被其他方程替代掉的方程数量：
解释一下，如果方程长这样：
$ \begin{cases} -x_1+2x_2+5x_3=11 \ 2x_1=8 \ x_1+2x_2+5x_3=19 \end{cases} $
那么，其实第三个方程式可以通过前两个方程式推出来，也就称作第三个方程式可以被前两个方程式替代掉。
知道了“替代”的定义后，就知道了一件事，就是上面说的“会被其他方程替代掉的方程”，这些方程可以直接从方程组里去掉，而不影响最终的解。
所以，我们就可以对奥数里的一个点做一个更简洁的解释：
在奥数里，讲了解 $n$ 元一次方程（组）的方法。
同时还说了，在这个 $n$ 元一次方程组内，如果“有用”的方程数量，刚好等于未知数的数量，或者大于未知数的数量，那么这个方程组就有唯一解。
这一点可以被更简洁地解释为：
这个 $n$ 元一次方程组，转化为“高斯矩阵”，并删除最后一列后（变成 $n \times n$ 的方阵），如果这个方阵的秩刚好为 $n$，那么这个方程组就有唯一解。
然后，我们回归正题，说行列式。
行列式是对于一个方阵来讲的，一个方阵有行列式有且仅当这个方程的秩刚好等于方阵的大小（行或者列）。
行列式的定义此处不讲，因为：
- 太复杂了
- （几乎）没有用处
行列式的计算方法是用的高斯消元。
在高斯消元的思路里，提到了三种“基本行变换”：（以下全部以高斯矩阵的角度去说）
- 将一行全部乘上一个非 $0$ 实数 $x$，解不变。
- 将一行内的所有元素对应地加上/减去另一行对应的元素乘上一个非 $0$ 实数 $x$，解不变。
- 交换两行，解不变。
这三种基本行变换在执行前后，行列式并不是都不变的：
- 将一行全部乘上一个非 $0$ 实数 $x$，行列式也会乘上 $x$。
- 将一行内的所有元素对应地加上/减去另一行对应的元素乘上一个非 $0$ 实数 $x$，行列式不变。
- 交换两行，行列式变号（负数变成正数，反之亦然）。
所以我们只用写一下高斯消元，然后处理一下对行列式的值的变化即可。
但这儿还有一点问题，就是行列式怎么求。
求法很好记，如果说当前方阵是个上三角矩阵（设方阵叫 $a$，那么 $a$ 是个上三角矩阵有且仅当对于所有的 $(i,j)$，如果满足 $i>j$，那么 $a_{i,j}$ 一定要等于 $0$，当然其他方格不做要求），那么这个方阵的行列式就是这个方阵中正对角线上的元素的乘积。
进而就可以写出行列式的模板了。
此外，行列式还满足一个性质。
对于一个方阵 $A$，如果它的构造如下：
$ A= \begin{bmatrix} B & C \ 0 & D \end{bmatrix} $
其中 $B$、$D$ 皆为方阵，$C$ 不做限制。
即，如果把 $A$ 划分成这样：
满足绿色部分内全部都是 $0$，红色部分 $B$ 和蓝色部分 $D$ 都是方阵。
那么，设 $\det A$ 为矩阵 $A$ 的行列式值，那么 $\det A$ 一定等于 $(\det B) \times (\det D)$。
行列式的求法有了，但有人就有个问题了，如果模数不是质数，那么怎么求行列式呢？接下来说一下做法。
首先，模数不是质数，就说明数可能没有逆元，所以以下两种操作无法进行：
- 将同一行同时乘上一个非 $0$ 整数（在乘的同时，行列式的值也需要除上相同的数，涉及逆元，证毕）
- 将同一行同时除以一个非 $0$ 整数（除的时候就涉及逆元了，证毕）
其次，我们考虑做法。
在高斯-约旦消元法里，要求把 $1 \sim n-1$ 行（除了 $now$ 行）的第 $j$ 列全部变成 $0$。
但由于模数不是质数，就无法用以前的思路去做到上述点了。
但也不是不能做到，这里就说一下。
记得“更相减损术”（又称“辗转相减法”）没？更相减损术是解决 $\gcd(a,b)$ 的一个利器。
更相减损术就是说 $\gcd(a,b)=\gcd(b,a-b)$。
更相减损术还说了，用递归实现上述公式，递归到最后，$a$、$b$ 两个数之一一定会成为 $0$。
但“辗转相除法”比“更相减损术”要快，代码也更短，所以容易被忘掉，但这里成了推导过程中必须的一步。
具体地，用上面说的更相减损术的方法，我们就可以设计出一个算法来了：
我们循环每个比 $now$ 大的 $i$（此处不需要循环每个不等于 $now$ 的 $i$，因为如果这么循环，是无法实现的，实现起来是错的；而且行列式只要求我们消成上三角矩阵即可，不用消成严格对角矩阵），然后我们只关注第 $now$ 行和第 $i$ 行。
我们不断比较这两行的主元（第 $j$ 列上的值），将主元更小的放到第 $now$ 行，主元更大的放到第 $i$ 行。
然后，将第 $i$ 行全部对应地减去第 $now$ 行。
重复以上过程直到第 $i$ 行第 $j$ 列消成了 $0$。
为了防止出现特殊情况，每次循环时也顺便判断一下第 $now$ 行第 $j$ 列是否是 $0$。
但这个算法复杂度很大，所以我们需要优化。
记得上面还提到了“辗转相除法”，这里就要用这个来优化，变成：
我们还是循环每个比 $now$ 大的 $i$，然后我们只关注第 $now$ 行和第 $i$ 行。
我们不断比较这两行的主元（第 $j$ 列上的值），将主元更小的放到第 $now$ 行，主元更大的放到第 $i$ 行。
然后，将第 $i$ 行全部对应地减去第 $now$ 行
乘上 $\left\lfloor \dfrac{第i行的主元}{第now行的主元} \right\rfloor$ 。重复以上过程直到第 $i$ 行第 $j$ 列消成了 $0$。
为了防止出现特殊情况，每次循环时也顺便判断一下第 $now$ 行第 $j$ 列是否是 $0$。
用辗转相除法就可以把循环次数优化到 $O(~\log$ 数字 $)$ 级别
以上所有过程显然都不会影响行列式，所以做法正确。