下面是三道与博弈论相关的题目及其做法。
题目1：皮肤病
题面
（改编自《不可思议事件簿 第5册 魔法学院》，由艾教提供变体）
（原题名称：加试难题）
在一个学校内，共有 $100$ 个人，每个人都养了一只狗。
但由于某些原因，校长确定了这 $100$ 条狗内，必然存在至少一条狗有皮肤病。
现在那些学生要确定一下哪些狗有皮肤病。
他们准备这样确定：
- 每天上午的时候，所有人看一下除了自己的狗之外的所有狗。
- 如果确认自己的狗病了，就在晚上敲一下宠物房内的钟。
现在已知：
- 无论谁，看那只狗，都能立刻确认它是否有皮肤病。
- 假设皮肤病不会对狗的寿命造成影响，即所有的狗都不会死亡。
- 皮肤病不能传染，并且忽略“人患病”造成的影响。
- 所有人都绝顶聪明（废话
并且：
- 第 $1$ 天晚上，没有钟声响起。
- 第 $2$ 天晚上，没有钟声响起。
- 第 $3$ 天晚上，没有钟声响起。
- …
- 直到第 $10$ 天晚上，终于有钟声响起了。
请问：
- 那天晚上，共有多少人共同敲响了钟？
- 在第 $10$ 天后，除了那些敲钟的人养的狗，是否会存在其他病了的狗？
答案
- $10$ 个人
- 不会
题解
我们考虑一下，如果说第 $1$ 天晚上有人敲钟，那么代表啥。
我们从人的角度考虑，如果说一个人发现其他狗都是好狗（指没有皮肤病的狗），那么必然自己的狗有皮肤病 （除了自己的，还有谁的？难不成是他自己？）。
这种情况下，他便会去敲钟。
但第 $1$ 天晚上没有钟声，所以每个人都观察到了至少 $1$ 个病狗，也就是说至少有 $2$ 个病狗。
随后第 $2$ 天，如果说一个人观察到其他的狗内，只有 $1$ 个病狗，那么显然自己的狗也得有皮肤病。
所以这种情况下，他也会去敲钟。
并且显然会有 $2$ 个人去敲钟。
以此类推。
可以发现，根据上面两天的模拟情况，有多少个病狗，就会在第几天敲钟，并且敲钟的都是那些养了病狗的，没养病狗的不会敲钟（实际上是废话
所以就可以得到本题答案。
题目2：抓豆子
题面
（本题面基于艾教讲述的题面进行修改）
有 $10$ 个人在进行一场抓豆子游戏。
游戏规则是这样的，$10$ 个人按照环的顺序依次取豆子（即取的顺序是 $1,2,3,\dots,10,1,2,3,\dots,10,\dots$），初始袋子里面共有 $100$ 颗豆子。
每个人都要取至少 $1$ 个豆子，如果袋子为空，则游戏结束。
显然这个游戏会在有限局内结束。
结束之后，我们看每个人一共取了多少个豆子，随后取的豆子最多的和最少的所有人都会被淘汰。
但那些人显然不想让自己被淘汰，并且他们不存在“我不想让某个其他人被淘汰，即使付出自己被淘汰的代价”的情况。
现在问你：
- 在所有人都绝顶聪明的时候，哪些人被淘汰了。
注意，淘汰完该淘汰的人后，游戏就彻底结束了，不会继续下一轮游戏。
答案
- 所有人都会被淘汰。
题解
我们从第 $1$ 个人的角度考虑。
显然在第 $1$ 个人取完豆子后，第 $2$ 个人便会知道第 $1$ 个人取了多少豆子。
分两种情况：
- 第 $1$ 个人直接取完了所有豆子。
- 第 $1$ 个人没有取完。
显然第一种情况是直接全部淘汰。
但第二种情况呢？我们再考虑第 $2$ 个人。
可以发现，只要第 $1$ 个人和第 $2$ 个人取的豆子之间有一点的空隙（即差至少为 $2$），那么第 $3$ 个人就有机会不淘汰，不符合题目条件。
所以显然第 $2$ 个人和第 $1$ 个人取的豆子数量的差不会超过 $1$。
再看第 $3$ 个人，显然第 $3$ 个人取的豆子只能是第 $1$ 或者第 $2$ 个人取的豆子数量。
因为只要是其他数量，那么第 $1$ 或者第 $2$ 个人中，必然会有一个人活。
当然，如果说前两个人取一样的豆子个数，那么第 $3$ 个人还可以取到最多差为 $1$。
以此类推，可以发现，最后谁都会被淘汰。
题目3：分金币
题面
（本题面基于艾教讲述的题面进行修改）
有 $10$ 个海盗，他们都是贪婪、自私但聪明的。
现在他们要分偷来的 $100$ 个金币。
他们准备采用投票的方式。
具体而言，我们把十个人分别命名为：老大、老二、老三、老四、老五、老六、老七、老八、老九、老十。
随后，先老大提供一种分硬币的方式。
然后包括老大在内的共 $10$ 个人做投票。
只要投支持票的人达到了总人数的一半（上取整）及以上，那么就采用老大的方式分配，否则把老大淘汰，然后老二说一个分配方案。
当然，他们也接受贿赂，贿赂是这样的：
- 假设 $a$ 要贿赂 $b$，那么就在 $a$ 说分配方案的时候，给 $b$ 至少一个金币（当然，显然给一个金币最好），此时 $b$ 便会考虑投支持票，也就是说 $b$ 可能会反水。
现在问你：
- 在所有人都绝顶聪明的时候，每个人分别获得多少金币。
为了防止答案多解，那么我们假设每个人都想早点得到自己最优的金币。
答案
- 老大分得 $96$ 个金币，老三、五、七、九各分得 $1$ 金币，其他人一无所得。
题解
（以下题解会采用半对话半陈述的形式）
老十：只要我把老大到老九淘汰，我就能独占所有金币了。/tx
老九：你没机会了——只要轮到我，我就让我独占所有，并且无论如何都不可能拒绝我的分配方案。/cf
老八：不行，只要我被淘汰，那么老九就会独占所有金币，所以我就把老十贿赂一下，让他投我的票，我就能得到 $99$ 个金币了，不戳。/yx
这里解释一下为啥老八贿赂的是老十而不是老九。
是因为只要贿赂老九，那么老九就会反水，然后自己独占所有金币。
而如果贿赂老十，那么老十就会想，如果我反水，那么就会轮到老九，此时我会一分不得。
所以我还不如投支持票，我还能得到一个金币。
老七：@老八 你没机会了，我贿赂一下老九，这样我就能得到 $99$ 个金币。/kx
这里也解释一下为啥贿赂老九会更优。
首先贿赂老八那么老八就一定会反水。
其次考虑贿赂老十，这时候如果老十反水，那么会轮到老八，老八也会给我一个金币，那么不如早得。
以此类推，直到老大，此时老大需要贿赂老三、五、七、九，自己获得 $96$ 个金币，此时就是最优的方案了。